Soal Latihan Olimpiade materi Bilangan (1)

 

Soal 1.  

Diketahui FPB(a,2008) = 251. 

Jika a > 2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah ....

Lihat Jawaban:

Dengan menggunakan pohon faktor diperoleh:

2008 = 2³ × 251 = 8 × 251

Agar nilai a > 2008, maka nilai terkecil dari a yang mungkin dari a yaitu:

a = 9 × 251 = 2259

Soal 2.

Diketahui a + (a + 1) + (a + 2) + ... + 50 = 1139. Jika a bilangan positif, maka a = ....

Lihat Jawaban:

Cari bedanya (b) terlebh dahulu sbb:

            b = (a + 1) – a = 1

 Selanjutnya cari nilai n melalui rumus U_n sbb:

            U_n = a + (n – 1) . b

            50 = a + (n – 1) . 1      ®       n = 51 – a

 Kemudian cari nilai a melalui rumus S_n sbb:

   
 Karena a bilangan positif, maka nilai a yang memenuhi adalah a = 17

Soal 3.

Misalkan x, y, z tiga bilangan asli berbeda. Faktor persekutuan terbesar ketiganya adalah 12, sedangkan kelipatannya persekutuan terkecil ketiganya adalah 840. Berapakah nilai terbesar bagi x + y + z ?

Lihat Jawaban:

Karena faktor persekutuan terbesar dari x, y, z adalah 12, maka x, y, z akan berbentuk x = 12a, y = 12b dan z = 12c dengan a, b, dan c adalah bilangan bulat dimana FPB(a, b, c) = 1.

Karena 840 : 12 = 70, maka a, b, dan c masing-masing harus faktor dari 70. Nilai a, b, dan c harus diambil dari faktor-faktor 70 yaitu: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, dan 70.

Karena diinginkan nilai x + y + z yang terbesar maka nilai a + b + c juga harus yang terbesar. Karena FPB(14, 35, 70), FPB(10, 35, 70), FPB(7, 35, 70), FPB(5, 35, 70) semuanya tidak memenuhi FPB(a, b, c) = 1. Sehingga kemungkinan nilai a, b, dan c terbesar dan memenuhi FPB(a, b, c) = 1 di antaranya 2, 35, dan 70 atau 10, 14, 35. Karena 2 + 35 + 70 > 10 + 14 + 35 maka a, b, dan c diambil dari 2, 35, dan 70.

Jadi (x + y + z) terbesar = 12 . 2 + 12 . 35 + 12 . 70 = 1284

Soal 4.

Misalkan M dan m berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil diantara semua bilangan 4-angka yang jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dari M − m?

Lihat Jawaban:

Misal bilangan 4-digit = abcd, dimana a + b + c + d = 9

Bilangan terbesarnya adalah M = 9000, sedangkan bilangan terkecilnya adalah m = 1008

Nilai dari M – m          = 9000 – 1008

= 7992

= 2³ . 3³ . 37

Sehingga faktor prima terbesar dari M – m adalah 37

Soal 5.

Tentukan bilangan asli terkecil n sehingga n mempunyai sisa berturut-turut 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 jika dibagi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Lihat Jawaban:

Melalui pemisalan hasil bagi dan sisa serta menggunakan manipulasi aljabar dengan cara menambahkan kedua ruas dengan 1 lalu difaktorkan, maka diperoleh pernyataan sbb:

n = 2a + 1        ®        n + 1 = 2a + 2             ®        n + 1 = 2(a + 1)

n = 3b + 2        ®        n + 1 = 3b + 3             ®        n + 1 = 3(b + 1)          

n = 4c + 3        ®        n + 1 = 4c + 4              ®        n + 1 = 4(c + 1)

n = 5d + 4        ®        n + 1 = 5d + 5             ®        n + 1 = 5(d + 1)

n = 6e + 5        ®        n + 1 = 6e + 6              ®        n + 1 = 6(e + 1)

n = 7f + 6         ®        n + 1 = 7f + 7              ®        n + 1 = 7(f + 1)

n = 8g + 7        ®        n + 1 = 8g + 8             ®        n + 1 = 8(g + 1)

Agar diperoleh bilangan n yang sama, maka n + 1 = KPK((2,3,4,5,6,7,8)) = 840

Sehingga n = 840 – 1 = 839

Lokasi: Jl. Kebonsari Elveka Ⅴ, Kebonsari, Kec. Jambangan, Kota SBY, Jawa Timur 60232, Indonesia

Berbagi :